Calcular el radio de la circunferencia si $\frac{1}{\textrm{AH}} + \frac{1}{\textrm{AM}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.
Calcular el radio de la circunferencia si $\frac{1}{\textrm{AH}} + \frac{1}{\textrm{AM}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.
1. Como $\ng{NPH} = 90°$, entonces la prolongación de $\seg{PH}$ y $\seg{NO}$ se intersectan en Q, donde $\seg{NQ}$ es diámetro de la circunferencia. Por lo tanto
$$ \up{OQ} = x $$ 2. Como $\ng{NPH} = \ng{NOH} = 90°$, entonces el cuadrilátero $\up{NOHP}$ es inscriptible. Por propiedad $$ \ng{OHQ} = \ng{ONP} \equiv \alpha $$ 3. Del gráfico $\rtri{HOQ}\sim\rtri{NOM}$, entonces $$ \frac{\up {OQ}}{\up{OH}} = \frac{\up{OM}}{\up{ON}} $$ 4. Entonces $$ \frac{x}{a} = \frac{x+b}{x} \; \then \; x^2 = ax + ab $$ 5. Del dato $$ \frac{1}{a+x} + \frac{1}{2x+b} = \frac{\sqrt 2}{4} $$ 6. Operando $$ \frac{3x + a + b}{2x^2 + 2ax + bx + ab} = \frac{\sqrt 2}{4} $$ 7. Reemplazando (4) en (6) $$ \frac{3x +a +b}{2x^2 + ax + bx + x^2} = \frac{\sqrt 2}{4} $$ 8. Factorizando $x$ $$ \frac{3x + a + b}{x(3x + a + b)} = \frac{\sqrt 2}{4} $$ 9. Por lo tanto $$ x = 2\sqrt 2 $$
Solución
1. Como $\ng{NPH} = 90°$, entonces la prolongación de $\seg{PH}$ y $\seg{NO}$ se intersectan en Q, donde $\seg{NQ}$ es diámetro de la circunferencia. Por lo tanto$$ \up{OQ} = x $$ 2. Como $\ng{NPH} = \ng{NOH} = 90°$, entonces el cuadrilátero $\up{NOHP}$ es inscriptible. Por propiedad $$ \ng{OHQ} = \ng{ONP} \equiv \alpha $$ 3. Del gráfico $\rtri{HOQ}\sim\rtri{NOM}$, entonces $$ \frac{\up {OQ}}{\up{OH}} = \frac{\up{OM}}{\up{ON}} $$ 4. Entonces $$ \frac{x}{a} = \frac{x+b}{x} \; \then \; x^2 = ax + ab $$ 5. Del dato $$ \frac{1}{a+x} + \frac{1}{2x+b} = \frac{\sqrt 2}{4} $$ 6. Operando $$ \frac{3x + a + b}{2x^2 + 2ax + bx + ab} = \frac{\sqrt 2}{4} $$ 7. Reemplazando (4) en (6) $$ \frac{3x +a +b}{2x^2 + ax + bx + x^2} = \frac{\sqrt 2}{4} $$ 8. Factorizando $x$ $$ \frac{3x + a + b}{x(3x + a + b)} = \frac{\sqrt 2}{4} $$ 9. Por lo tanto $$ x = 2\sqrt 2 $$
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